Soluții aproximative pentru o clasă de model de ordine fracțională a infecției cu HIV prin programare liniară
Primit la 14 mai 2016; acceptat la 24 iunie 2016; publicat la 27 iunie 2016
În ultimii ani, oamenii de știință s-au interesat să studieze calculul fracțional și FDE în diferite domenii de inginerie, fizică, matematică, biologie, finanțe, biomecanică și procese electrochimice (a se vedea [1] - [8], pentru mai multe detalii). De asemenea, s-a demonstrat că modelarea comportamentului multor sisteme biologice care sunt guvernate de FDE are mai multe avantaje decât modelarea clasică a ordinilor întregi [9]. Cititorii interesați de FDE sunt menționați la [10] - [17]. Deși s-au făcut mari eforturi pentru a găsi tehnici numerice și analitice pentru rezolvarea FDE, de exemplu, metoda predictor-corectoră [18], descompunerea adomiană [19], metoda de iterație variațională [20], colocarea utilizând funcții spline [21] și expresie matricială dată de [22] [23], dar majoritatea acestor FDE nu au soluții analitice.
În această lucrare, la început, aproximăm derivata fracționată printr-o metodă de diferență finită și apoi folosim abordarea AVK [24] pentru a obține o nouă soluție aproximativă pentru FDE. Această abordare substituie FDE-urile cu o problemă de minimizare echivalentă în care soluția optimă a acestei probleme este soluția aproximativă a FDE-ului original. Mai mult, deoarece eroarea acestei abordări este minimizată, soluțiile aproximative sunt cele mai bune soluții pentru problema inițială. Folosim această aproximare pentru a obține soluția numerică a unui sistem de FDE care a fost utilizat pentru modelarea infecției cu HIV a celulelor T CD4 +.
Discuția lucrării va fi după cum urmează: în secțiunea următoare, exprimăm modelul fracțional de HIV și introducem notațiile utilizate în restul acestei lucrări. În secțiunea 3, proiectăm o abordare eficientă pentru a aproxima derivata fracțională și o utilizăm în metoda noastră numerică pentru rezolvarea FDE. Unele exemple numerice sunt afișate în secțiunea 4. În cele din urmă, concluziile sunt incluse în ultima secțiune.
Luați în considerare următorul model de ecuație diferențială de ordin fracțional al infecției cu HIV a celulelor T CD4 + [25]:
(1)
cu condițiile inițiale și, în care valorile parametrilor raportate în tabelul 1.
Urmând teorema 1 din [25], observăm că (1) împreună cu condițiile sale inițiale posedă o soluție unică care este non-negativă. De-a lungul acestei lucrări, am setat () ca derivată de ordine Riemann-Liouville definită de [26]:
(2)
Scopul acestei lucrări este de a extinde aplicarea abordării AVK pentru a rezolva un model de ordine fracționată pentru acest model de infecție HIV a celulelor T CD4 +. Deci, în secțiunea următoare, la început convertim FDE-ul original într-un
Tabelul 1. Variabile și parametri pentru modelul infecției cu HIV.
problemă de optimizare bazată pe minimizarea erorii. Discretizând noua problemă și aproximând derivata fracțională Riemann-Liouville printr-o metodă de diferență finită, obținem cea mai bună soluție aproximativă a FDE originală.
3. Abordare AVK pentru rezolvarea a aproximativ FDE-uri
Luați în considerare un sistem general de FDE după cum urmează:
(3)
unde () este derivata Riemann-Liouville de ordine, g este o funcție de variabilă a timpului integrabilă riemann, iar A este un subset compact în. Numită și variabila de stat. Vrem să obținem o soluție aproximativă a problemei (3). Prin urmare, avem nevoie de următoarea definiție.
Definiție 1. Pentru problema (3) definim următoarea funcționalitate care se numește funcțională eroare totală:
unde este o funcționalitate non-negativă, este orice normă din spațiu, cum ar fi unde se definește după cum urmează:
Aici, convertim problema (4) la o programare neliniară (NLP) după cum urmează:
Acum, pentru a ajunge la soluția aproximativă pentru problema inițială (3) este suficient să se rezolve problema de minimizare (6). Prin urmare, avem nevoie de următoarea teoremă medie [27] și corolar.
Teorema 1. Fie h o funcție continuă non-negativă activată, condiția necesară și suficientă pentru aceasta este aceea, activată .
Corolar 1. Condiția necesară și suficientă pentru ca traiectoria să fie o soluție a sistemului (3) este aceea că soluția optimă a (6) are o funcție obiectivă zero.
Pentru a dezvolta soluția numerică a problemei (6) aproximativ, am definit dimensiunea grilei în timp cu
pentru un număr întreg pozitiv m, deci punctele grilei din intervalul de timp sunt date de,. Pentru a ilustra mai bine abordarea numerică, introducem următoarele notații:
Prin notațiile de mai sus, problema (6) este acum aproximată de următoarea problemă de optimizare:
Prin utilizarea punctului final în orice subinterval pentru aproximarea integralelor, problema (7) este acum aproximată de următoarea problemă de optimizare:
Acum, aproximăm derivata fracțională după cum urmează:
Defini. Apoi, ecuația (9) cedează la
Pentru a ilustra mai bine abordarea numerică, introducem și următorul operator de diferență:
Prin urmare sau timpul de eșantionare este foarte important și trebuie să fie ales mic, astfel încât numărul de partiții este mare. Acesta este un compromis între timpul de eșantionare și viteza de rezolvare a problemelor. Folosind din nou regula trapezoidală în orice subinterval pentru aproximarea integralelor, cu excepția ultimului interval pe care îl folosim aproximarea punctului de mijloc și
să presupunem, pentru. Prin urmare,
Astfel, obținem pur și simplu problema (8) în următoarea formă:
Am rezolvat această problemă de optimizare prin formularea de programare liniară (LP) care se face în cele ce urmează.
Lema 1. Fie perechi, să fie soluțiile optime ale următoarei probleme LP:
unde I este un set compact. Atunci, este soluția optimă a următoarei probleme NLP:
Dovadă. Întrucât, este soluția optimă a problemei LP, deci ele satisfac restricțiile. Astfel există și pentru. Prin urmare, și așa
. Acum, să existe, astfel încât. Definiți, pentru. Apoi și. Mai mult, și de aici
Deci, ceea ce este o contradicție. Vezi [28] mai multe detalii.
Acum, prin lema 1, problema (14) poate fi convertită la următoarea problemă LP echivalentă:
Prin obținerea soluției acestei probleme, recunoaștem valoarea necunoscutului admisibil și .
4. Exemple numerice
În această secțiune, oferim câteva exemple numerice și aplicăm metoda prezentată în ultimele secțiuni pentru rezolvarea lor. Mai mult, extindem această abordare pentru rezolvarea aproximativă a unui model de infecție cu HIV a celulelor T CD4 + cu efect de terapie, inclusiv un sistem de FDE. Aceste probleme de testare demonstrează validitatea și eficiența acestei aproximări.
Exemplul 1. Ca prim exemplu, calculăm, cu, pentru. Formulele exacte ale
derivatele sunt derivate din
Figura 1 prezintă rezultatele utilizând aproximarea (10) - (13) pentru și diferite alegeri ale m.
Acum, presupunem că, și sunt soluțiile aproximative și exacte ale sistemului (3), respectiv. Am definit eroarea absolută de aproximare după cum urmează:
În acest exemplu, erorile absolute maxime calculate de ecuația (16) pentru și diferite alegeri ale lui m, au fost prezentate în tabelul 2.
Exemplul 2. Luați în considerare următoarea problemă de valoare inițială:
cu stare inițială .
Noi stim aia. Prin urmare, soluția analitică pentru sistemul (17) este. Acum extindem derivata fracțională până la problema (15). Soluția este desenată în Figurile 2-4 pentru m = 20, 50, 100 și .