Lecția 13 Modele de diferențiere fracțională și prag
Săptămâna aceasta vom analiza două variante ale modelelor ARIMA - modele cu memorie lungă (diferențe fracționare) și modele de prag (modele de comutare de regim).
Obiective
- Identificați și interpretați modele simple diferențiate fracțional
- Recunoașteți când trebuie să luați primele diferențe vs. diferențe fracționare
- Identificați și interpretați modelele ARFIMA
- Aplicați modele diferite în două intervale ale unei serii temporale
Secțiunea 5.1 din Shumway și Stoffer oferă o scurtă prezentare generală a modelelor „ARMA cu memorie lungă”. Acest tip de model poate fi folosit când ACF-ul seriei se reduce încet la 0.
Soluția obișnuită în această situație este explorarea primelor diferențe ale seriei. Adesea, datele pentru care o primă diferență este reușită vor avea de obicei o autocorelare cu primul decalaj destul de apropiată de 1.
\ (x_t - x_ \) = termeni AR și MA.
Acest lucru poate fi rescris ca
\ (x_t = x_ + \) Termeni AR și MA.
În această formulare avem un termen AR de prim lag cu un coeficient egal cu 1. Acest lucru creează o autocorelație de prim ordin pentru seria originală apropiată de 1.
Cu toate acestea, în unele cazuri, putem vedea un model persistent de corelații diferite de zero, care începe cu o corelație de întârziere care nu este aproape de 1. În aceste cazuri, modelele care încorporează „diferențierea fracțională” pot fi utile. Un model simplu care utilizează diferențierea fracțională este
unde d este o valoare astfel încât | d | arfima poate fi folosit pentru a face acest lucru. Din nou, o indicație că acest model ar putea fi util este un eșantion de ACF încetinit lent, fără autocorelații deosebit de mari.
Exemplul 5.1 din text analizează un model diferențiat fracțional pentru o serie de valori n = 634 (anuale) ale unei măsurători geologice numite varve. Acesta este un strat sedimentar de nisip și nămol lăsat de topirea ghețarilor. Urmează o serie de date cronologice.
Datorită perioadei de variabilitate mai extremă, autorii sugerează analizarea logaritmului datelor. (Acest lucru ar putea stabiliza varianța.)
Urmează un complot al seriei transformate în jurnal:
Eșantionul ACF al datelor transformate în jurnal arată un model persistent de valori moderat ridicate. Iată atât ACF, cât și PACF. În capitolul 3 al textului, autorii folosesc prima diferențiere și explorează meritele relative ale modelelor ARIMA (0,1,1) și ARIMA (1,1,1) pentru aceste date. În secțiunea 5.1, autorii explorează un model diferențiat.
Pachetul arfima oferă o estimare pentru fracțiunea de diferențiere a \ (\ widehat = 0.373 \). Astfel, modelul estimat este \ (1-B) ^ x_t = w_t \) unde \ (x_t \) este seria centrală de jurnale transformate în jurnal.
Acest model oferă o potrivire bună a datelor, după cum reiese din următoarele ACF și PACF ale reziduurilor.
Generalizări
Modelul poate fi extins pentru a include termeni AR și MA, precum și diferența fracțională. Aceste modele se numesc modele ARFIMA. Pentru a identifica un model ARFIMA, folosim mai întâi modelul diferenței fracționale simple \ ((1-B) ^ dx_t = w_t \) și apoi explorăm ACF și PACF ale reziduurilor din acest model. Acest lucru este analog cu explorarea ACF și PACF a primelor diferențe atunci când efectuăm pașii obișnuiți pentru datele non-staționare. Pachetul arfima poate fi utilizat pentru a se potrivi modelelor generale ARFIMA.