O conversație la o teoremă a lui Salem și Zygmund - PDF Descărcare gratuită

5 și U (ν O, z) este finit în toate punctele. Reamintim că continuitatea lui ν O înseamnă că ν O () = pentru toate x (adică ν O nu are mase punctuale). Dovadă. Fie O = j = 1 (aj, bj) unde (aj, bj) s sunt disjuncte și setați K n = nj = 1 [aj + 1/n, bj 1/n] (săriți al j-lea termen dacă aj + 1/nbj 1/n). Acesta este un set compact de capacitate logaritmică astfel încât [x 2δ, x + 2δ] O. Apoi [x 2δ, x + 2δ] K n pentru toate nn și pe setul [x 2δ, x + 2δ] (de fapt pe întregul set K n) secvența nn este o secvență descrescătoare de măsuri ([1, Teorema IV.1.6 (e)]). Acestea implică faptul că ν O este absolut continuu pe (x 2δ, x + 2δ) și pe (x δ, x + δ) avem wnw O (x), unde w O este densitatea lui ν O. Prin urmare, de către monoton teorema convergenței, avem ca n, n N, x + δ x δ log xt dν n (t) x + δ x δ log xt dν O (t). Pe de altă parte, conform a ceea ce tocmai am spus ν n R \ [x δ, x + δ] ν OR \ [x δ, x + δ] în topologia slabă ca n, n N, deci R \ [x δ, x + δ] log xt dν n (t) R \ [x δ, x + δ] Astfel, am demonstrat că de-a lungul secvenței n N log xt dν n (t) log xt dν O (t) și apoi (3) urmează din (4). Deoarece, conform teoremei lui Frostman, log z t dν n (t) log cap (k n) log x t dν O (t). pentru toate z, se poate deduce cu ușurință că U (ν O, z) este finit peste tot. În cele din urmă, finitudinea lui U (ν O, z) la fiecare z implică faptul că ν O este o măsură continuă, adică nu are atomi: ν O () = pentru toate x R. 5

---